approximation (meilleure - affine) [latin : approximare, approcher] (1) :
Soit f une fonction définie au
voisinage d'un réel
a. La fonction xmx+p
est une approximation affine de f au voisinage de a
si et seulement si f(a+h) peut se mettre sous la forme f(a+h)=(mh+p)+he(h),
avec
e(h)=0.
Dans ce cas, nécessairement, f est dérivable
en a, m=f'(a), p=f(a), g est unique et s'appelle la meilleure approximation
affine de f au voisinage de a. Ainsi : f(a+h)=f(a)+f'(a)h+he(h),
avec e(h)=0.
Notation (de Landau) : f(a+h)=(mh+p)+o(h).
Si f(x)=x2 et a=1 : (1+h)2=1+2h+o(h). Autrement dit,
pour h "petit", (1+h)21+2h,
par exemple 1,0032
1,006.
approximation (meilleure - affine) (1)(T) :
Meilleure approximation affine de quelques fonctions usuelles :
Pour a∈,
(1+h)a=1+ah+o(h),
en particulier pour n∈
,
(1+h)n=1+nh+o(h),
=1-h+o(h),
=1+
h+o(h),
=1-
h+o(h).
sin(h)=h+o(h),
tan(h)=h+o(h).
eh=1+h+o(h),
ln(1+h)=h+o(h).