approximation (meilleure - affine) [latin : approximare, approcher] (1) :

Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel a. La fonction xmx+p est une approximation affine de f au voisinage de a si et seulement si f(a+h) peut se mettre sous la forme f(a+h)=(mh+p)+he(h), avec e(h)=0.
Dans ce cas, nécessairement, f est dérivable en a, m=f'(a), p=f(a), g est unique et s'appelle la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. Ainsi : f(a+h)=f(a)+f'(a)h+he(h), avec e(h)=0.

Notation (de Landau) : f(a+h)=(mh+p)+o(h).

Si f(x)=x2 et a=1 : (1+h)2=1+2h+o(h). Autrement dit, pour h "petit", (1+h)21+2h, par exemple 1,00321,006.

approximation (meilleure - affine) (1)(T) :

Meilleure approximation affine de quelques fonctions usuelles :

Pour a∈, (1+h)a=1+ah+o(h), en particulier pour n∈, (1+h)n=1+nh+o(h),
=1-h+o(h),
=1+h+o(h),
=1-h+o(h).

sin(h)=h+o(h),
tan(h)=h+o(h).

eh=1+h+o(h),
ln(1+h)=h+o(h).