intermédiaires (théorème des valeurs -) [latin : inter, entre ; et medium, milieu] (1)(T) :
Il existe de nombreuses formulations pour ce théorème, qui concerne les fonctions de dans .
Soit f une fonction définie sur un
intervalle [a,b] (a et b réels).
Si :
f est continue (*) sur [a,b] et
f est strictement croissante sur [a,b]
alors quel que soit k∈[f(a),f(b)], l'équation
f(x)=k admet une et une seule solution
c dans [a,b].
Enoncé analogue pour une fonction strictement décroissante (remplacer [f(a),f(b)] par [f(b),f(a)]).
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a,b[ (a et b réels
ou infinis).
Si :
f est continue sur ]a,b[ et
f est strictement croissante sur ]a,b[
alors quel que soit kÎ]f(x),f(x)[,
l'équation f(x)=k admet une et une seule solution c dans [a,b].
Enoncés analogues pour une fonction strictement décroissante, un intervalle semi-ouvert, etc.
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection entre I et son image f(I).
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle.
Soit I=[a,b] et f(a)<f(b).
Si f est continue, alors quel que soit k∈[f(a),f(b)]
il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.
Enoncé analogue pour f(a)>f(b).
(*) : dans la pratique, la continuité se déduit de la dérivabilité.