intermédiaires (théorème des valeurs -) [latin : inter, entre ; et medium, milieu] (1)(T) :

Il existe de nombreuses formulations pour ce théorème, qui concerne les fonctions de dans .

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b] (a et b réels).
Si :
f est continue (*) sur [a,b] et
f est strictement croissante sur [a,b]
alors quel que soit k∈[f(a),f(b)], l'équation f(x)=k admet une et une seule solution c dans [a,b].

Enoncé analogue pour une fonction strictement décroissante (remplacer [f(a),f(b)] par [f(b),f(a)]).

Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a,b[ (a et b réels ou infinis).
Si :
f est continue sur ]a,b[ et
f est strictement croissante sur ]a,b[
alors quel que soit k]f(x),f(x)[, l'équation f(x)=k admet une et une seule solution c dans [a,b].

Enoncés analogues pour une fonction strictement décroissante, un intervalle semi-ouvert, etc.

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection entre I et son image f(I).

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle.

Soit I=[a,b] et f(a)<f(b).
Si f est continue, alors quel que soit k∈[f(a),f(b)] il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.

Enoncé analogue pour f(a)>f(b).

(*) : dans la pratique, la continuité se déduit de la dérivabilité.