définition
La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(\lvert x \rvert\) est : \[\lvert x \rvert=\begin{cases}-x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.\]
exemples
\(\lvert -6 \rvert=6\) ; \(\lvert 5 \rvert=5\).
propriétés
1. La valeur absolue d'un réel est toujours positive.
2. Un réel et son opposé ont la même valeur absolue.
3. La valeur absolue d'un réel est la racine carrée de son carré : \(\lvert x \rvert=\sqrt{x^2}\).
4. Quels que soient les réels \(x\) et \(y\) : \(\lvert xy \rvert=\lvert x \rvert \lvert y\lvert\).
5. Quels que soient les réels \(x\) et \(y\) : \(\displaystyle\left\lvert \frac{x}{y} \right\rvert=\frac{\lvert x \rvert}{\lvert y \rvert}\) \((y \neq 0)\).
6. Inégalité triangulaire : quels que soient les réels \(x\) et \(y\) : \(\lvert x+y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y\rvert\).
7. Soient \(A\) et \(B\) deux points d'une droite graduée. Alors \(AB=\lvert x_B-x_A\rvert\).
Par abus de langage, la distance entre deux réels est égale à la valeur absolue de leur différence. \(\lvert x \rvert\) est donc la distance de \(x\) à \(0\).
