asymptote (droite - à la courbe représentative d'une fonction) [grec : a (privatif) ; sun, avec et ptiptein, tomber] (1) :

Soit C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère (O,,).

1er cas : asymptote parallèle à la droite (O,) :
C admet comme asymptote la droite d'équation x=a si et seulement si f admet une limite infinie quand x tend vers a à droite ou à gauche.

2ème cas : asymptote parallèle à la droite (O,) :
C admet comme asymptote la droite d'équation y=p en +si et seulement si f(x) a pour limite p quand x tend vers +.
C admet comme asymptote la droite d'équation y=p en -si et seulement si f(x) a pour limite p quand x tend vers -.

3ème cas : asymptote non parallèle aux axes :
C admet comme asymptote la droite d'équation y=mx+p en +si et seulement si f(x)-(mx+p) a pour limite 0 quand x tend vers +.
C admet comme asymptote la droite d'équation y=mx+p en -si et seulement si f(x)-(mx+p) a pour limite 0 quand x tend vers -.

Le deuxième cas est en fait un cas particulier du troisième : pour m=0, l'asymptote est parallèle à (O,) :

La courbe représentative de la fonction x2x-1+admet comme asymptotes les droites d'équations x=0 et y=2x-1.
La courbe représentative de la fonction xx2 n'a pas d'asymptote.

asymptote (droite - à la courbe représentative d'une fonction) (1) :

C admet comme asymptote la droite d'équation y=mx+p en +, si et seulement si =m et f(x)-mx=p.