barycentre [grec : barus, lourd et kentron, pointe] (1) :

Soit A et B deux points du plan ou de l'espace, et a et b deux réels tels que a+b0.
Le point G est le barycentre du système de points pondérés {(A,a) ; (B,b)} si et seulement si a+b=.
Les réels a et b s'appellent les coefficients des points A et B.
Notations : G=b{(A,a) ; (B,b)} ou G=bar{(A,a) ; (B,b)} ou G=b.

La définition se généralise à n points :
Soit A_i (1in) n points du plan ou de l'espace, et a_i (1in) n réels tels que a_i0.
Le point G est le barycentre du système de points pondérés {(A_i,a_i) ; (1in)} si et seulement si a_i=.
Les réels a_i s'appellent les coefficients des points A_i.

G est le barycentre de {(A,1) ; (B,2)} car +2=.

barycentre (1) :

Position
G=bar{(A,a) ; (B,b)} si et seulement si =.
Deux points et leur barycentre sont alignés.
A et B étant deux points distincts, la droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B.
A et B étant deux points distincts, le segment [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe.

Produit par un réel non nul
Pour tout réel non nul k : G=bar{(A,a) ; (B,b)} si et seulement si G=bar{(A,ka) ; (B,kb)}.

Propriété fondamentale
G=bar{(A,a) ; (B,b)} si et seulement si pour tout point M du plan : a+b=(a+b).

Associativité ou propriété du barycentre partiel
Un barycentre ne change pas lorsque certains points sont remplacés par leur barycentre, affecté de la somme (non nulle) de leurs coefficients.
Par exemple, G=bar{(A,a) ; (B,b) ; (C,c) ; (D,d)}=bar{(K,a+b) ; (C,c) ; (D,d)}, avec K=bar{(A,a) ; (B,b)}.

Dans l'espace
Trois points et leur barycentre sont coplanaires.
A, B et C étant trois points non alignés, le plan (ABC) est l'ensemble des barycentres des points A, B et C.