*Soit \(E\) un ensemble de vecteurs.
Un ensemble \( B=\{\overrightarrow{u}_{1}, \overrightarrow{u}_{2}, ..., \overrightarrow{u}_{n}\}\) de vecteurs de \(E\) est une base de \(E\) si et seulement si tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) de \(E\) peut s'écrire, de manière unique, comme combinaison linéaire d'éléments de \(B\).
\[ \overrightarrow{u}=x_{1}\overrightarrow{u}_{1}+x_{2}\overrightarrow{u}_{2}+ ...+x_{n}\overrightarrow{u}_{n}\].
Les réels \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sont les coordonnées de \(\overrightarrow{u}\) dans la base \(B\).
*La base \(B\) est orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux.
*La base \(B\) est normée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1.
*La base \(B\) est orthonormée si et seulement si elle est orthogonale et normée.
*Un vecteur d'une base ne peut être nul.
*Dans le plan, toute base est formée de deux vecteurs non colinéaires.
*Dans l'espace, toute base est formée de trois vecteurs non coplanaires.
*Les vecteurs \(\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^2\) (le plan).
*Les vecteurs \(\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base de \(\mathbb{R}^2\), mais ni orthogonale, ni normée.
*Les vecteurs \(\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\0 \end{pmatrix}\)et \(\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\) (l'espace).