Soit \(E\) un ensemble de vecteurs.
Si \(E\) admet une base finie, alors elles le sont toutes, et ont le même nombre d'éléments, appelé la dimension de l'espace.
1. Un espace de dimension 1 est une droite (exemplaire de \(\mathbb{R}\)).
2. Un espace de dimension 2 est un plan.
3. Un espace de dimension 3 est un espace (!).
4. Un espace de dimension 4 est un hyper-espace.
1. Un vecteur d'une base ne peut être nul.
2. Dans le plan, toute base est formée de deux vecteurs non colinéaires.
3. Dans l'espace, toute base est formée de trois vecteurs non coplanaires.
1. Les vecteurs \(\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^2\) (le plan).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base de \(\mathbb{R}^2\), mais ni orthogonale, ni normée.
3. Les vecteurs \(\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\0 \end{pmatrix}\)et \(\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\ 1 \end{pmatrix}\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\) (l'espace).