Gauss [Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand (1777-1855)] (1)(T) :
Méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes d'équations linéaires (1)
Méthode consistant à transformer un système en un système
triangulaire équivalent. Elle s'appuie sur le théorème
suivant : Les transformations suivantes fournissent un système équivalent à un système donné : |
|
Multiplier les deux membres d'une ligne par le même réel
non nul. Remplacer une ligne par la somme ou la différence de cette ligne et d'une autre. |
Pour faciliter la lecture, les codages suivants sont utilisés : | |
Li | ième ligne |
aLi | ième ligne multipliée par a |
Li + Lj | somme de la ième ligne et de la jème ligne |
Li - Lj | différence de la ième ligne et de la jème ligne |
Li Lj | remplacement de la ième ligne par la jème ligne |
Les transformations permises par le théorème de Gauss s'écrivent
donc, sous forme codée :
LiaLi,
(a≠0)
LiLi
+ Lj ou Li
Li
- Lj, (i≠j)
Pour écourter, ces deux transformations se font souvent en même
temps, soit :
LiLi
± aLj (a≠0, i≠j)
La stratégie consiste alors à :
1) Éliminer une inconnue dans deux
lignes en utilisant la troisième (appelée
pivot).
2) Éliminer une autre inconnue dans l'une de ces deux
lignes en utilisant l'autre.
Soit à résoudre S⇔.
1) Éliminer x dans L2 et L3 en utilisant comme
pivot L1 :
S⇔⇔
.
2) Éliminer z dans L2 en utilisant comme pivot L3
:
⇔
.
S={1,2,3}.
Théorème de Gauss (T)
Soit a, b et c trois entiers.
Si a divise bc, et est premier
avec b, alors a divise c.
Courbe de Gauss (T)
Courbe représentative de la fonction
x
(dite aussi courbe en cloche), densité
de la loi de probabilité normale centrée réduite sur
.