Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles de vecteurs d'une droite (\(\mathbb{R}\)), du plan ou de l'espace.
Une fonction \(f\) de \(E\) vers \(F\) est linéaire si et seulement si :
Pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) et tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \[f(\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v})=\alpha f(\overrightarrow{u})+\beta f(\overrightarrow{v}).\]
1. La fonction \(f\) de l'espace vers le plan (munis de systèmes de coordonnées cartésiennes) définie par \(f\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+2y\\ y-3z \end{pmatrix} \) est linéaire.
Celle définie par \(f\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+z+7\\ y^2 \end{pmatrix} \) ne l'est pas.
2. La fonction réelle de variable réelle définie par \(f(x)=5x\) est linéaire.
Celle définie par \(f(x)=2x+1\) ne l'est pas.
3. Les fonctions linéaires de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) sont les fonctions définies par \(f(x)=ax\), où \(a\) est un réel donné.
1. La fonction "tripler", définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x\) est une fonction linéaire.
2. Les fonctions "carré", "racine carrée", "sinus" ne sont pas linéaires.
3. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.