Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), et \(\displaystyle Z=\frac{X-E(X)}{\sigma(X)}=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \le b\) :\[\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\mathrm{P} (a \le Z \le b)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{a}^{b} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\]
En d’autres termes, pour \(n\) (le nombre de répétitions) assez grand, une loi binomiale \(X\) « centrée » \((X-E(X))\), puis « réduite » \(\displaystyle\left(\frac{X-E(X)}{\sigma(X)}\right)\) peut s’approximer par la loi normale centrée réduite, c'est à dire \(\mathcal{N}(0,\,1)\).
Ou encore : pour \(n\) assez grand, une loi binomiale peut s’approximer par la loi normale de même espérance et de même variance (ou même écart-type).
Dans la pratique :
Cette approximation est considérée comme valable lorsque \(n\ge30\), \(np\ge5\) et \(np(1-p)\ge5\).
Correction de continuité : une loi binomiale (qui ne prend que des valeurs entières) étant approximée par une loi à densité (par exemple une normale), il convient d’approximer \(\mathrm{P} (a \le X \le b)\) par \(\mathrm{P} (a-0,5 \le \mathrm{X} \le b+0,5)\), car pour une loi à densité, \(\mathrm{P}(X=x)=0\).
\(\mathrm{P} (20 \le X \le 30)= \mathrm{P} (19,5 \le X \le 30,5)=\displaystyle\mathrm{P} \left(\frac{19,5-30}{5} \le \frac{X-30}{5} \le \frac{30,5-30}{5}\right)=\mathrm{P} (-2,1 \le Z \le 0,1)\approx 0,523\).