Différentielle (équation -) [latin : differentia, différence]

 

différentielle (équation -)

Une équation différentielle est une relation entre une fonction, inconnue qu'il s'agit de déterminer, et ses dérivées. Une équation différentielle du premier ordre est une équation différentielle ne faisant intervenir que la dérivée première. L'usage est de noter la variable y au lieu de f.

L'équation différentielle y ' = x admet comme solutions les fonctions de la forme f(x) = x2 + k, k∈.
Plus généralement, étant donnée une fonction f, résoudre l'équation différentielle y ' = f(x), c'est chercher les primitives de f.

différentielle (équation -)

Soit a∈. Les solutions sur (ou tout intervalle I de ) de l'équation différentielle y ' = ay sont les fonctions de la forme xkeax, où k∈.
Quels que soient les réels x0 et y0 donnés, il en existe une et une seule vérifiant y(x0) = y0.
En particulier, la fonction exponentielle est la seule fonction f définie sur vérifiant f '=f et f(0)=1.

Soit a et b deux réels. Les solutions sur (ou tout intervalle I de ) de l'équation différentielle y ' = ay + b sont les fonctions de la forme xkeax- où k∈.
Quels que soient les réels x0 et y0 donnés, il en existe une et une seule vérifiant y(x0) = y0.