équation [latin : aequatio, égalité] (2)(1)(T) :

Sens général

Egalité qui est vraie pour certaines valeurs attribuées aux variables (appelées inconnues), qu'il s'agit de déterminer.
Ces valeurs s'appellent alors les solutions de l'équation.

x²=2x, équation d'inconnue réelle x, a pour ensemble de solutions {0,2}.
x²+y²=1, équation d'inconnue (x, y), a pour ensemble de solutions le cercle de centre O et de rayon 1 (dans un repère orthonormé).
x+x=2x, a(b+c)=ab+ac, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ne sont pas des équations, mais des identités.

Equation du premier degré à une inconnue

Equation de la forme ax+b=0 ou s'y ramenant (a et b réels ou complexes donnés, a≠0).

L'ensemble des solutions est le singleton S={- } (dans ou ).

Equation du second degré à une inconnue réelle, à coefficients réels

Equation de la forme ax²+bx+c=0 ou s'y ramenant (a, b et c réels donnés, a≠0).

Soit D=b²-4ac le discriminant de l'équation.
Si D>0, l'équation admet deux solutions réelles : S={,}.
Si D=0, l'équation admet une solution réelle (dite "double") : S={-}.
Si D<0, l'équation n'admet pas de solution réelle : S=Æ.

Equation du second degré à une inconnue complexe, à coefficients complexes

Equation de la forme az²+bz+c=0 ou s'y ramenant (a, b et c complexes donnés, a≠0).

Soit D=b²-4ac le discriminant de l'équation.
L'équation admet deux solutions complexes (éventellement confondues) : S={,}, où d₁ et d₂ sont les deux complexes vérifiant d₁²=d₂²=D.

Equation de degré supérieur à 3

Equation de la forme P(x)=0 ou s'y ramenant, P étant un polynôme de degré supérieur à 3.

Elles se résolvent en trouvant une racine "évidente" a et en mettant (x-a) en facteur d'un polynôme dans P(x).

Equation d'une courbe du plan ou de l'espace

Relation vérifiée par les coordonnées (dans un repère choisi) des points de la courbe, et ceux-ci seulement.

y=ax+b (a et b étant deux réels donnés) est une équation de droite dans le plan.
La courbe plane d'équation x²+y²=1 dans un repère orthonormé (O,,) est le cercle de centre O et de rayon 1.
y=f(x) est une équation de la courbe représentative d'une fonction f. C'est l'ensemble des points M dont les coordonnées x et y vérifient y=f(x).

Equation d'une surface de l'espace

Relation vérifiée par les coordonnées (dans un repère choisi) des points de la surface, et ceux-ci seulement.

ax+by+cz=d (a, b, c et d étant quatre réels donnés tels que a, b et c ne soient pas tous nuls) est une équation de plan.
La surface d'équation x²+y²+z²=1 dans un repère orthonormé (O,,,) est la sphère de centre O et de rayon 1.
z=f(x,y) est une équation de la surface représentative d'une fonction de deux variables f.

Equation différentielle

Une équation différentielle est une relation entre une fonction, inconnue qu'il s'agit de déterminer, et ses dérivées. Une équation différentielle du premier ordre est une équation différentielle ne faisant intervenir que la dérivée première. L'usage est de noter la variable y au lieu de f.

L'équation différentielle y ' = x admet comme solutions les fonctions de la forme f(x) = x² + k, k Î.
Plus généralement, résoudre l'équation différentielle y ' = f(x), c'est chercher les primitives de f.
Pour d'autres exemples, voir "différentielle".