Loi (de probabilité d'une variale aléatoire) [latin : lex, loi]

 

Soit \(\mathrm{X}\) une variable aléatoire réelle définie sur un univers \(\Omega\).

 

loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Si \(\mathrm{X}\) est une variable discrète, la loi de \(\mathrm{X}\) est la donnée des \(\mathrm{P} (\mathrm{X}=x_i)\) étant les valeurs prises par \(\mathrm{X}\).

exemples

1. Une pièce de monnaie bien équilibrée est lancée trois fois. \(\Omega\)={(P,P,P);(P,P,F);(P,F,P);(P,F,F);(F,P,P);(F,P,F);(F,F,P);(F,F,F)}.

Soit la variable aléatoire \(\mathrm{X}\) qui à tout triplet associe le nombre de " faces ". La loi de \(\mathrm{X}\) est :

\(x_i\)
0
1
2
3
\(\mathrm{P} (\mathrm{X}=x_i)\)
\[\frac{1}{8}\]
\[\frac{3}{8}\]
\[\frac{3}{8}\]
\[\frac{1}{8}\]

2. La loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) est la loi définie par : \[\mathrm{P} (\mathrm{X}=k)= \dbinom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\, , \, 0\le k \le n.\] Notation : \(\mathrm{X} \sim \mathcal{B}(n,\,p).\)

 

loi de probabilité d'une variable aléatoire continue (ou diffuse)

La loi de probabilité d'une variable aléatoire continue \(\mathrm{X}\) est la donnée d'une densité de probabilité \(f\) sur l'intervalle \(\mathrm{I}\) des valeurs prises par \(\mathrm{X}\).

Alors, pour \(a\) et \( b \in \mathrm{I}\) : \[ \mathrm{P} (a \le \mathrm{X} \le b)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x. \]

exemples

1. La loi uniforme sur l'intervalle \([a,b]\) est la loi de densité (constante) : \[f(x)=\frac{1}{b-a}\].

2. La loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) est la loi de densité : \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\, , \, \mathrm{sur\, l'intervalle} \, [0,+\infty [.\]

3. La loi normale centrée réduite est la loi de densité : \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\, , \, \mathrm{sur} \, \mathbb{R}.\] Notation : \(\mathrm{X} \sim \mathcal{N}(0,\,1).\)