Soit \(\Omega\) un point du plan et \(\alpha\) une mesure en radians d'un angle orienté.
La rotation \(r_{\Omega,\alpha}\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\alpha\) est la transformation qui à tout point \(M\neq\Omega\) du plan fait correspondre le point \(M'\) tel que :
\(\begin{cases} \Omega M=\Omega M' \\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv \alpha \pmod {2 \pi} \end{cases}\),
et \(r_{\Omega,\alpha}(\Omega)=\Omega\).
1. La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\pi\) est la symétrie de centre \(\Omega\).
2. La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\alpha\equiv 0 \pmod {2 \pi}\) est l'identité.
3. Une rotation d'angle \(\alpha\equiv \frac{\pi}{2}\pmod {2 \pi}\) est un quart de tour direct.
1. La composée de deux rotations est une rotation.
2. Plus précisément : \(r_{\Omega,\alpha}\circ r_{\Omega,\beta}=r_{\Omega,\alpha+\beta}\). Si les centres sont différents, les angles s'ajoutent, mais le centre change.
3. \(\left( r_{\Omega,\alpha}\right)^{-1}=r_{\Omega,-\alpha}\) : la réciproque d'une rotation est la rotation de même centre et d'angle opposé.
4. Matrice d'une rotation.
La matrice d'une rotation vectorielle d'angle \(\alpha\) dans une base orthonormée directe est : \(\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix}\).
5. Expression analytique d'une rotation.
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct \(\left(O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\), les coordonnées \(\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\) de l'image de \(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\) est : \(\begin{cases} x'=cos(\alpha)x-sin(\alpha)y \\ y'=sin(\alpha)x+cos(\alpha)y \end{cases}\).Et si le centre est un point \(\Omega\) quelconque : \(\begin{cases} x'-x'_{\Omega}=cos(\alpha)(x-x_{\Omega})-sin(\alpha)(y-y_{\Omega}) \\ y'-y'_{\Omega}=sin(\alpha)(x-x_{\Omega})+cos(\alpha)(y-y_{\Omega}) \end{cases}\).
