factoriser [latin : factor, celui qui fait]

 

factoriser

Transformer une somme en produit. Le contraire s'appelle développer.


3(2x+5) est une forme factorisée de 6x+15.

 

factoriser

Par lecture inverse, les formules de développement sont aussi des formules de factorisation.
Quels que soient les réels ou complexes a et b :

Formules de base :
ab+ac=a(b+c)
ab-ac=a(b-c)

Identités remarquables :
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
a2-b2=(a+b)(a-b)

Autres formules :
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
...
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+a2bn-3+abn-2+bn-1) (n ∈ )

Factorisation d'un trinôme :
Si le trinôme à coefficients réels P(x)=ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors il se factorise en P(x)=a(x-x1)(x-x2).
Si le trinôme à coefficients réels P(x)=ax2+bx+c admet une seule racine (double) x1, alors il se factorise en P(x)=a(x-x1)2.
Tout trinôme à coefficients complexes P(z)=az2+bz+c qui admet deux racines z1 et z2 se factorise en P(z)=a(z-z1)(z-z2).
Tout trinôme à coefficients complexes P(z)=az2+bz+c qui admet une racine (double) z1 se factorise en P(z)=a(z-z1)2.

Factorisation d'un polynôme :
α (réel ou complexe) est une racine d'un polynôme P de degré n
si et seulement si
il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que pour tout x, P(x)=(x-α)Q(x).
Le polynôme Q se détermine par la méthode d'identification des coefficients.

 

algorithme de factorisation